طرح موزاییکی و موزاییک های طبیعت

رياضيات مي‌خوانيم چون زيباست، ظريف و دقيق است، و توان الگوسازي براي بافت عالمي که در آن زندگي مي‌کنيم دارد. گاهي از طريق طرح‌هاي موزاييکي به هنر مي‌رسد. طرح‌هاي موزاييکي، موزاييک‌هاي بي فاصله اي هستند که شکل‌هايي را مي‌سازند؛ نسبت‌ها، ثابت‌ها و الگوهايي دارند که در سرتاسر معماري تکرار مي‌شوند و خودشان را زير ميکروسکوپ‌ها و پرتوها در هر کندوي عسل و گل آفتابگرداني نشان مي‌دهند. هر جايي را در نظر بگيريد، از هندسه، فيزيک، احتمال، آمار، و حتي ژئومورفولوژي و نظريه‌ي آشوب، عدد پي را پيدا مي‌کنيد که در گوشه طرح‌شان همچون فسيل‌هاي صدف‌هاي شيپوري ديده مي‌شود.

عدد اويلر در حسابان، واپاشي راديواکتيو، فرمول‌هاي ترکيبي جالب و حالت‌هاي عجيب در احتمال بارها نمودار بازگشتي درست مي‌کند. نسبت طلايي (في) اساس طراحي و هنر معماري و موسيقي را بسيار پيش از زماني که مردم کشفش کنند، وجود داشته: در طبيعت، برگ‌ها، استخوان‌ها، ريشه‌ها، شريان‌ها، گل‌هاي آفتابگردان يا چرخه‌ي ساعتيِ امواج مغز. رابطه‌اي بين ديگر الگو‌هاي پايان‌ناپذير، سري فيبوناچي، را در خود دارد که تسلسل  يکتاي کاشي‌ها را به وجود مي‌آورد.

علم، طبيعت و هنر هم با طرح‌هاي موزاييکي نمود مي‌کنند. مانند پي، اي، و في که مثال‌هايي از الگوهاي تکرارپذير اطراف ما در زندگي روزمره هستند. از کناره‌هاي خيابان‌ها، جدول‌هاي فکري، و کاشي‌هاي کف تا کارهاي هنرمنداني چون اِشِر هلندي يا کارهاي نفسگير قرن ۱۴ در الحمراء در کراناداي اسپانيا (نويسنده با يکي از مهم‌ترين مراکز معمارهاي موزاييکي يعني خاورميانه آشنايي نداشته). در واقع، کلمه‌ي موزاييکي (Tessellation) از لاتين Tessella گرفته شده که اسم کوچک لاتين tessera در حالت منفرد، معمولاً به معناي چهارگوشه در کاشي‌هاي موزاييکي ست. Tesserra  احتمالا از کلمه‌ي tessares به معناي چهار گرفته شده.

رياضيات، علم و طبيعت بستگي به الگوهاي اينچنيني دارند، حال معنايشان هرچه مي‌خواهد باشد. فراتر از زيبايي متعالي موزاييک يا حکاکي، طرح‌هاي موزاييکي کاربردهاي بسياري در رياضيات، اخترشناسي، زيست، گياهشناسي، اقليم شناسي، گرافيک رايانه‌اي، علم مواد و شبيه سازي‌ها دارد. در اين مطلب، به شما نشان خواهيم داد که اين موزاييک‌هاي رياضياتي چه نوع تقارني در خود دارند و کدام طرح‌هاي موزاييکي رياضيدان‌ها و دانشمندان، ايشان را در خلاقيت‌هاي حل مساله کمک مي‌کند. ابتدا ببينم اين طرح‌ها چطور ساخته مي‌شوند.

شکل‌دهي يا تکرار؟
طرح‌هاي موزاييکي اين گستره را از پايه تا مرزهاي تکان دهنده‌اي پيش مي‌برند. ساده ترين‌شان شکلي منفرد است که صفحه‌ي دو بُعدي را بدون هيچ جاي خالي مي‌پوشاند. از اين محدوده گرفته تا حدهاي آسمان، از الگوهاي پيچيده‌ي شکل‌هاي نامنظم چندگانه تا شکل‌هاي سه بُعدي که با هم فضا يا ابعاد بالاتر را پُر مي‌کنند. اين طرح‌ها خود، سه مُدل شکل منظم دارند: مثلث متساوي الاضلاع، مربع‌ها و شش وجهي‌ها. شکل‌هاي ديگر چهار گوشه ها هم از جمله مستطيل و لوزي را هم بايد حساب کرد. اگر شکل‌ها را بيشتر تعميم بدهيم، کاشي‌هاي مثلثي نامنظم، اگر پشت به پشت قرار بگيرند هم بخشي از اين گستره محسوب مي‌شوند و متوازي الاضلاع مي‌سازند. عجيب است که شش ضلعي‌هاي هر شکل اگر در وحوه مخالف برابر باشند، موزاييکي مي‌شوند. از اين رو، هر چهار وجهي (ضلعي) مي‌تواند در صورت قرار گيري پشت به پشت، و بدون ايجاد فضاي خالي در ميان دو شکل، يک شش ضلعي بسازد.

مي‌توانيد صفحه‌اي موزاييکي با ترکيب چندوجهي‌ها يا چندوجهي‌هاي منظم و نيمه منظم و مثلث‌ها بسازيد. چند وجهي‌ها شکل‌هاي دو بُعدي دارند که از خطوطي چون مثلث‌ها و مستطيل‌ها ساخته شده‌اند. چند وجهي‌هاي منظم حالت‌هاي خاص چند وجهي هايي هستند که در تمام اضلاع و زاويه‌هايشان برابر است. مثلث‌ متساوي الاضلاع و مربع‌ها هم مثال‌هاي خوبي از چند وجهي هاي منظم هستند.

تمام طرح‌هاي موزاييکي حتي آن‌ها که شکل‌دهي شده‌اند و يا پيچيده هستند مانند م. س. اِشِر، بدون هيچ جاي خالي و انفصال در شکل، الگوها تکرار مي‌شوند. نکته اين است که بايد شکل تغيير کند، مثلا يک لوزي، به طوريکه کاملا قالب هم در بيايند. يک رهيافت ساده این است یک تکه از یک شکل را ببریم، به بخش دیگری بچسبانیم. اینطوری شکلی درست می‌شود که قطعه‌های آن با هم جور هستند و کنار هم قرار می‌گیرند. هرقدر وجوه را افزایش دهید، الگوها جالب‌تر می‌شوند.

اگر حس ماجراجویانه‌تری دارید، خط موجی روی یک طرف کاغذ یا اقلام مشابه بکشید و سپس همان را در طرف دیگر کپی بزنید. شاید کمی پیچیدگی لازم باشد تا به نتیجه مطلوب برسید و قطعات به طور خاص بهم متصل شوند. مثلا اگر چندوجهیِ شما تعداد وجوه فرد داشته باشد، باید وجه باقی مانده را به نیم تقسیم کنید و آنگاه شکل‌های آینه‌ای  روی هر وجه بکشید. با این کار هر وجه به خودش یک اتصال دارد.

با دو سه شکل می‌توانید طرح موزاییکی را امتحان کنید. می‌توانید از هندسه کمک بگیرید یا خیلی ساده کاغذ را پُر کنید از هر شکلی که دوست دارید و سپس تصویری را تصور کنید که در فضای منفی جای میگیرد. روش مرتبطی باری پُر کردن شکل موزاییکی به وسیله‌ی شکل‌های ساده‌تر به کار برده می‌شود. حتی موزاییکی‌های فراکتالی وجود دارند. (الگوهایی که هم تکرار می‌شوند و هم یک شکل هستند منتهی در مقیاس با هم تفاوت دارند.)

از اینکه تلاشتان نتیجه‌ی جالبی به دست ندهد، مایوس نشوید. اِشِر سال‌ها کار کرد تا استاد این کار شد و حتی کارهایی دارد که ناقص از آب در آمد. حالا که با این کار آشنا شده‌ایم، نگاهی به چند نمونه‌ی خاص موزاییکی می‌اندازیم که پژوهشگران سال‌ها کار کردند تا راه حل‌های نظری و عملی مسائل این چنینی را حل کنند.

م. س. اِشِر
هیچ استعدادی نمیتواند گرافیست هلندی، اِشِر، را تحت الشعاع خود قرار دهد. سنگ نگار، چوب تراش و حکاک، که به شکل‌های خاص علاقه مند شد و انگیزه‌اش را ار دانشگاه آلاباما گرفت. گرچه رهیافت طرح‌های موزاییکی در کارهای او اولین نبودند آنهم از شکل‌های هندسی تا اُرگانیک، ولی اِشِر خود را به عنوان متخصص متبهر معرفی کرد. کارهای خیالی  و برجسته و اغلب هنری اش، تا امروز مورد علاقه عموم قرار دارد.

همانطور که پژوهشگران طرح‌های موزاییکی را کشف کردند و ریاضیاتشان را تعریف کردند، گونه‌های معینی را شناسایی کردند که در مسائل دشوار یاری رسان هستند. یکی از شناخته شده ترینشان، طرح موزاییکی ورونویی (Voronoi tessellation-VT) با عنوان موزاییکی‌های دیریکله (Dirichlet) یا چند وجهی‌های تیسن (Thiessen polygons) است.

یک VT موزاییک-پایه‌ای است براساس نقاط مانند ستارگان در نقشه آسمان. هر نقطه، با یک سلول چند وجهی احاطه شده که کُل مساحت را در بر می‌گیرد که نقطه‌ی درون هر سلول به یکی از وجوه نزدیک‌تر است. مرز‌های سلول (یا وجوه چند ضلعی) با دو نقطه برابر هستند: گره‌ها که سه یا چهار سلول هم مرز هم هستند، به سه یا بیشتر نقطه تعریف شده نزدیک‌ترند. VT ها می‌توانند موزاییک‌های ابعاد بالاتر هم بسازند.

الگوی VTحاصل به کندوی زنبور عسل می‌مانند که بعد از جمع آوری عصاره گیاهان شکل گرفته. بیش از آنکه از دید زیبایی شناختی جذاب باشند که نیستند، آنچه که می‌سازند مهم است. مانند دیگر موزاییکی‌ها، VT ها در طبیعت به همان شکل معین تکرار می‌شوند. یافتن دلیلش ساده است: هر پدیده‌ای که منابع نقطه‌ای دارد که با هم با نرخ ثابتی رشد می‌کنند، مانند گلسنگ‌های روی صخره، ساختاری VTگونه به وجود خواهد آورد. مجموعه‌های حباب‌های متصل به هم کف سه بُعدی VT به پژوهشگران امکان مدل سازی کف‌ها را فراهم کرده. VT ها ابزار مفیدی برای تصویرسازی و تحلیل الگوها هم هستند. به همین ترتیب داده‌های انبوه برای VT ها قابل استفاده هستند به همان ترتیب که برای مناطق چگال سلولی اینگونه‌اند. اخترشناسان هم از این روش برای شناسایی خوشه‌های ستاره‌ای استفاده می‌کنند.

از آنجا که یک پردازنده‌ی رایانه هم می‌تواند VT از منبع نقطه‌ای داده ها و مجموعه دستورالعمل‌های ساده بسازد، با استفاده از VT هم حافظه کمتر برق کمتری مصرف خواهد کرد (کمیت‌های اساسی برای مرزهای تولید گرافیک کامپیوتر یا شبیه سازی سیستم‌های پیچیده هم هستند). با کاهش محاسبات لازم، VTها دری به پژوهشی می‌گشایند که امثال تاب پروتئین (Protein Folding)، مدل سازی سلولی و شبیه سازی بافت در آن‌ها مورد بررسی قرار می‌گیرد.

خانواده نزدیک VT، موزاییکی دلونای (Delunay) است که کاربردهای متعددی دارد. برای ساختن چنین موزاییکی، با یک VT شروع می‌کنند و سپس خطوطی بین نقاط معین سلول‌ها چنان رسم می‌کنند که هر خط جدید با یک خط مشترک از دو چند وجهی ورونویی فصل مشترک دارد. شبکه‌ی حاصل از مثلث‌های پهن، ساختار کاربردی ایجاد می‌کنند که گرافیک و ناحیه سازی را ساده می‌کند. ریاضیدانان و متخصیص آمار از این موزاییکی‌های دلانویی استفاده می‌کنند تا سوالات محاسبه نشده مانند حل معادله‌ای برای هر نقطه در فضا را پیدا کنند. به جای محاسبات بی‌انتها، برای هر سلول دلونای یک راه حل دارند .
کاربرد دیگری در مطالعات جغرافیایی

آینشتاین در سخنرانی ۲۷ ژانویه ۱۹۲۱ در آکادمی پروس برلین گفت:«تا آنجا که قوانین ریاضیات به واقعیت مربوط می‌شوند، قطعی هستند، وقتی که قطعی نیستند. به واقعیت ارتباطی ندارند.» با این اوصاف، می‌توانند منجر به کاهش مسائل بد هیبت به شکل‌های قابل بررسی با توان محاسباتی کنونی شوند. فراتر از آن، زیبایی پنهان و مقیاس‌های عالم را یاد آور می‌شوند.

تقارن ترسناک
تمام صفحات دو بُعدی با الگوهای تکرارپذیر به یکی از هفده گروه پس زمینه می‌رسند که گویای انواع تقارن‌هایشان خواهند بود. چهار دسته بندی اصلی وجود دارد:

۱. انتقالی: صفحه را در جهت معینی تا کنیم و همچنان بدون تغییر بماند.
۲. چرخشی: صفحه را با زاویه ای معین بچرخانیم و بدون تغییر بماند.
۳. انعکاس جهت دار: صفحه را در امتداد برداری تا کنیم و حول همان محور انعکاسی دهیم، و بدون تغییر بماند.
۴. تقارن آینه‌ای (انعکاس ساده): آینه ای را روی بخشی از صفحه بگیرید، بدون تغییر بماند (حالت خاص انعکاس جهت دار)

موزاییک‌های معروف الحمرا ۱۳ گروه تقارنی دارند. مصری‌ها از ۱۲ گروه تقارنی استفاده می‌کردند.

منبع:

How Stuff Works
نسبت طلایی و بدن انسان
Escher (WIKI)
Escher (وب سایت رسمی و گالری کارهای اشر)