پایه‌های هندسه: نقطه و خط

از دوران باستان مردم هندسه را مطالعه مي‌کردند: نقاط، خطوط، شکل‌ها و حجم‌ها.

از مولکول‌هاي ريز در بدن تا جت‌ها در آسمان، جهان پُر است از اشياء که هرکدام شکل و شمايل خودشان دارند. هندسه حوزه‌اي از رياضيات است که به درک بيشترِ خطوط، زوايا، سطوح و حجم‌ها در عالم اشياء و ايده‌هاي ما کمک مي‌کند. همه چيز از نقاط شروع مي‌شود. يک نقطه، منطقه‌اي نقطه‌اي و دقيق در فضاست. مکانش آنقدر مشخص است که اندازه ندارد. در عوض با مکانش تعريف مي‌شود.

به تصوير کشيدن چيزي که اندازه ندارد دشوار است. پس سعي مي‌کنيم اينطور به قضيه فکر کنيم: هر نقطه آنقدر کوچک است که به صورت يک خال در مکاني علامت‌گذاري مي‌شود به طوریکه آن نقطه و نقاط همجوارش را پوشش می‌دهد. این بدان معناست که هر آنچه که دیده میشود یا در دسترس است، از یک سری نقاط نزدیک بهم تشکیل شده است.

مکان هر نقطه یکتاست. برای مشخص کردن هرکدام، مردم باید برایش یک آدرس مشخص کنند (یک نقطه در میان تعداد زیادی نقاط دیگر). حال نقطه‌ی دومی را در نظر بگیرید. برای تمییز دادن نقاط، ریاضیدانان اغلب آن‌ها را با حروف بزرگ نامگذاری می‌کنند. بنابراین ما دو نقطه را A و B می‌نامیم. فرض می‌کنیم نقطه‌ی A در آدرسی واقعی زندگی می‌کند، مثلا خیابان ۱۲۳ پوینتویل . نقطه‌ی B در خیابان ۱۳۰ پوینت ویل و می‌توانیم اسمی برای همسایگی آن‌ها مانند مکان نقاط ابداع کنیم.

حالا نقطه‌ای را بالای A مشخص می‌کنیم. اینجاست که می‌گوییم این نقطه همان است که نقطه‌ای مانند A در همسایگی مکانش (که درس هم هست) قرار دارد. نقطه‌ی A تنها چیزی ست در همسایگی قرار دارد (اشتباه است). نقطه‌ای می‌کشیم با نصف اندازه‌ی اولی که همچنان نقطه‌ی واقعی را در هر جهتی می‌پوشاند. مهم نیست چقدر کوچک رسم شود، هنوز بسیار بزرگتر از نقطه‌ی واقعی‌ست. به همین دلیل است که ریاضیدانان نقاط را به مثابه بی‌نهایت کوچک و از این رو، بدون اندازه در نظر می‌گیرند.

اگرچه می‌دانیم خال‌ها از آن نقاط چقدر بزگتر هستند، ولی مردم همچنان آنها را به‌صورت نقطه می‌کشند. چرا؟ در چنین حالت‌هایی، نقاطی که مدنظر آن‌هاست، آنقدر دور هستند که می‌توان از خال‌های ریز برای تصور کردنشان و رابطه‌ی بین‌شان در طراحی استفاده کرد.

خطوط: فقط آن چیزی نیستند که انتظار دارید!

خطوط قابل تصورتر هستند. هر خط اط نقاط تشکیل شده. این مجموعه نقاط پیوسته هستند. این بدان معناست که هر نقطه در یک خط دقیقاً در همسایگی دو نقطه‌ی دو طرفش قرار گرفته. حتی واضح‌تر از آن، هیچ نقطه خالی بین این نقاط در یک خط وجود ندارد. حتی تصویری دشوارتر هم می‌توانیم داشته باشیم: خطوط تا بی‌نهایت در دو جهت مخالف امتداد دارند. از آنجا که نمی‌توانیم چیزی را تا بی‌نهایت در حال امتداد در این مثال، رسم کنیم، مردم با رسم پیکان در انتهای خط به صورت نمادین ایده‌ی بینهایت بودن یا امتداد خط را نشان می‌دهند. پیکان در جهتی ست که خط پیوسته ادامه خواهد داشت.

حرکت‌هایی که در فیزیک به صورت یک بُعدی مورد بررسی قرار می‌گیرند.

خطوط افقی از چپ به راست کشیده می‌شوند، مانند افق! شیب، عبارتی‌ست که برای خطوط و سطوح به کار می‌رود. معنایش چیزی جز میزان شیب و تمایل یک خط به سمت پایین یا بالا نیست. خطوطی که به سمت بالا امتداد می‌یابند، در اصطلاح، شیب مثبت دارند. آنها که جهت رو به پایین دارد، شیب منفی دارد. از آنجا که خطوط افقی اصلا شیبی ندارند، شیب‌شان صفر است. خطوط عمودی به سمت بالا و پایین هستند. انقدر شیب دارند که نمی‌توانیم از عنوان شیب برایشان استفاده کنیم. از این رو، ریاضیدانان می‌گویند که این خطوط تعریف نشده هستند.

حالا دو خط را تصور کنید. اگر یک نقطه در نقطه‌ی گذر دو خط از هم باشد، آن نقطه تقاطع نامیده می‌شود. سرانجام هر دو خط بهم خواهند رسید مگر اینکه موازی هم باشند. برای آنکه واقعا چنین اتفاقی بیفتد، خطوط باید دقیقاً در همان فاصله‌ای از هم باشند که در هر نقطه در امتداد مسیرشان. هر بخش از خط، بخشی از خطی ست که دو نقطه‌ی ابتدا و انتها دارد. برای مثال، میتواند بخشی از خطی باشد که بین دو نقطه‌ی A و B قرار گرفته. بخشی از خط که تنها یک نقطه‌ی انتها دارد، به عنوان نیمخط شناخته می‌شود. نیمخط در یک جهت تا بی‌نهایت امتداد خواهد یافت.

دنیای ما بیشتر از نقاط و خطوط ساده تشکیل شده. و دقیقاً به همین دلیل است که هندسه به طور خاص مفید واقع می‌شود. این امکان برای مردم به آسانی فراهم می‌شود تا شکل‌ها بخصوص شکل‌های پیچیده‌تر را اندازه بگیرند و تحلیل کنند. شکل‌ها بدون عمق یا ضخامت، طول و عرض دارند. زمانی این فرض درست است که شکل دو بعدی باشد.

شکل‌های دو بُعدی سه یا بیشتر ضلع مستقیم دارند که به چند ضلعی معروفند. ریاضیدانان چند ضلعی را از تعداد اضلاع نامگذاری می‌کنند. اولین بخش چند ضلعی از زبان یونانی پیشوندش است که نشان از تعداد اضلاع دارد. بخش دوم پسوند است برگرفته از ضلع در زبان یونانی (gon). برای مثال، پنتا (Penta)، یونانی پنج است. پس شکل ۵ وجهی، ۵ ضعلی نامید می‌شود. دو چند ضلعی معروف، نام‌های مشابهی دارند که از این الگو پیروی نمی‌کنند. سه ضلعی که می‌توانیم تیگُن بنامیم، ولی به آن مثلث می‌گوییم. به همین ترتیب، چهاروجهی که باید تتراگُن باشد، با این حال به چهارگوشه معروف شده است.

در هندسه، شکل‌ها و سطح‌ها ارتباط نزدیکی با هم دارند، ولی اختلاف‌های مهمی هم دارند. هردو از نقاط تشکیل شده‌اند. با این وجود، برای یک شکل که قرار است یک سطح باشد، شکل باید پیوسته باشد. این بدان معناست که هیچ حفره یا فضایی بین نقاط وجود نخواهد داشت. اگر از خط چین برای رسم مثلث روی کاغذ استفاده کنیم، این شکل هنوز یک سطح نشده. پس یک مرحله به غقب برمی‌گردیم و خط چین‌ها را بهم وصل می‌کنیم تا هیچ فضای خالی بین آن‌ها نباشد و سطح بسته باشد.

سطح‌ها طول و عرض دارند. با این حال، ضخامت ندارند. این بدان معناست که آنچه از آن‌ها درک می‌کنید همان سطحی نیستند که ریاضیادانان درباره‌اش فکر می‌کنند. همچنان از خال‌هایی تشکیل شده‌اند که نشانگر نقطا هستند و از طرح زدن یا تصاویر می‌توانیم سطح را به نمایش بگذاریم. اجسام سه بُعدی، طول، عرض و عمق دارند. چنین اجسامی صُلب نامیده می‌شوند. مثال‌های بسیاری در دنیای اطرافمان می‌توانیم پیدا کنیم؛ مانند مکعب‌ها، هرم‌ها و استوانه‌ها.

سطح و حجم

می‌توانیم اندازه‌ی سطوح را با محاسبه‌ی مساحتشان به دست آوریم. مساحت برای اجرامی که ضخامت دارند هم استفاده می‌شود، منتهی زمانی که ضخامت برایمان مهم نباشد. برای مثال، با محاسبه‌ی کف یک خانه، می‌توانیم اندازه‌ی موکت یا فرشی می‌خواهیم پهن کنیم به دست آوریم. .قتی مردم زمین‌های بزرگ را می‌فروشند، گاهی نسبت قیمت به متراژ دقیق را آگهی می‌کنند.

به همین ترتیب، اگر ابعاد یک جسم صُلب را بدانیم، هندسه می‌تواند امکان محاسبه‌ی حجم را به ما بدهد. مثلاً ابعاد بیرونی یک اتاق به شما میزان فضای داخلی را به دست می‌دهد. یا ابعاد بیرونی یک کفه، که مقدار چوب به کار رفته در کف را مشخص می‌کند. ریاضیدانان براساس شکلِ یک سطح یا حجم، از فرمول‌های مختلفی برای محاسبه‌ی مساحت استفاده می‌کنند. برای نمونه، محاسبه‌ی مساحت یک قائم الزاویه بسیار آسان است. فقط کافی‌ست طول و عرض قائم الزاویه حساب شود، سپس دو عدد در هم ضرب شوند. با این وجود، مساحت‌ها خیلی ساده ممکن است پیچیده شوند، بخصوص برای سطوح و اجرامی که چند وجهی هستند.

ساده سازی شکل‌های غیرهندسی نا منظم

اگر سطوح و اجسام شکل‌های عجیبی داشته باشند، ریاضیدانان گاهی حتی مساحت آن‌ها را هم با اضافه کردن مقادیری که حاصل از محاسبه‌ی بخش‌های مختلف جسم بوده، و جمع کردنشان، حساب می‌کنند. آنگاه تمام مساحت‌ها را با هم جمع می‌کنند. برای مثال، تکه زمینی را در نظر بگیرید که یک بخش از آن به نظر مثلث و بخش دوم مربع به نظرم می‌رسد. می‌خواهید مساحت کُلش را حساب کنید؟ مساحت مثلث و مربع را جداگانه حساب کنید و با هم جمه ببندید.

در اجسام صُلب، می‌توانیم آنچه حجم نامیده می‌شود را با مقدار فضایی که می‌گیرد حساب کنیم. ریاضیدانان از فرمول‌های ویژه‌ای برای محاسبه‌ی حجم اجسام صُلب استفاده می‌کنند که به شکل جسم بستگی دارد. فرض کنید حجم مکعب را بخواهیم حساب کنیم. مکعب‌ها ۶ مربع هستند در قالب رویه. ریاضیدانان هر سمت مکعب را وجه می‌نامند. هر وجهی را می‌خواهید در نظر بگیرید. حالا طول یکی از وجوه را حساب کنید. اگر طول یکی از این وجوه ۲ سانتی‌متر باشد، حجم مکعب ۲ ضربدر ۲ ضربدر ۲ سانتی‌متر خواهد شد یا به عبارتی ۸ سانتی‌متر مکعب.

این مفاهیم، پایه‌هایی چند از هندسه هستند. این حوزه از ریاضی آنقدر مهم است که درک ما از جهان اطرافمان حتی از دوران کودکی در کلاس‌ها به آموزش آن‌ها می‌پردازیم. کسانی که به این حوزه علاقه دارند با کلاس‌های اضافه در دوران مدرسه و پیش دانشگاهی مطالعه بیشتری می‌کنند. ولی این نکته که ماست که معمولا آنچه ریاضیدانان کار می‌کنند (به آن) وارد کتاب‌های درسی نمی‌شود چراکه دائماً در حال به روز رسانی‌ست.

منبع:
science news for students (Rachel Crowell)